Tensores para Aprendizaje Automático

Un taller de 3 horas, más tres controles de conocimiento con Kahoot

Antes de empezar

Has leído Deep Learning, capítulo 2 — Álgebra lineal. Sabes qué es una matriz.

Este taller no supone ningún conocimiento previo de teoría de tensores.

Dilo en voz alta: nadie tiene por qué saber teoría de tensores. Cada término nuevo se define la primera vez que aparece. Habla despacio y evita modismos; nombra pronto los cognados: eje, descomposición, contracción, convolución.

Aquí no hay nada inventado

Once conjuntos de datos. Todos medidos sobre algo que existe.

Viajes en taxi de Nueva York

6.433 viajes · §10

Pasajeros aéreos

144 meses, 1949–60 · §08

Dígitos manuscritos

1.797 de 8×8 · §01 §03 §06

Tumores de mama

569 pacientes, 30 medidas · §03 §11

Microscopía celular

Imagen de fase 660×550 · §04

Vídeo de una tormenta

24 s a 960×540 · §05

Grabación de voz

4,9 s a 48 kHz · §11

Vivienda en California

20.640 distritos · §07

Histología teñida

512×512 RGB · §01 §04 §06

También hoy

Fotografías · §01 §06 §09 §10

Los datos reales fallan como los números aleatorios nunca fallan: valores faltantes, escalas incompatibles, píxeles que nunca cambian. Encontrarlo es el trabajo.

Lo importante de la cuadrícula es que cada tarjeta es un enlace: quien quiera puede ir a ver la fuente, y varios lo harán. Menciona los dos casos que sorprenden: los dígitos son el conjunto UCI de 8x8, no MNIST, y la célula es una imagen de fase de un holograma, no una preparación teñida — la tarjeta de histología que tiene al lado sí lo es.

Créditos de las imágenes, ninguno obligatorio: taxis Ferdinand Stohr, DC-3 Bernard Spragg, histopatología Mikael Haggstrom MD, viviendas en serie Alfred Twu (Wikimedia Commons); tormenta Nicolas Vigier (Commons); voz Bart Massey — todas CC0. Los dígitos, la célula, la histología y la onda se generan a partir de los propios datos con scripts/gen_thumbnails.py; también son CC0, salvo la histología, que skimage documenta sin restricciones de copyright conocidas.

Programa — 195 minutos

Hora de inicio	Duración (min)	Parte	Segmento
00:00	5	—	Preparación y bienvenida
00:05	20	I	Qué es un tensor
00:25	20	II	Pensar en N dimensiones (grupo)
00:45	30	III	Indexación y broadcasting · Reshape y transposición
01:15	10	🎯	Kahoot 1 + pausa
01:25	15	III	Diseño de un pipeline de vídeo (grupo)
01:40	15	IV	Contracción con einsum
01:55	5	—	Pausa
02:00	15	IV	Inversas y la pseudoinversa
02:15	5	🎯	Kahoot 2
02:20	25	IV	Recursión · Convolución
02:45	5	—	Pausa
02:50	15	IV	Descomposición de Tucker
03:05	10	🎯	Kahoot 3 + cierre

Dos ritmos, y una advertencia

Bloques de ejercicios — 10 min programando, 5 de explicación.

Bloques de grupo — 10 min de discusión y puesta en común.

La palabra «rango»

Capítulo 2: rango = número de columnas independientes. Teoría de tensores: rango suele significar el número de ejes.

Hoy: «orden» para el número de ejes. «Rango» solo en el sentido del capítulo 2.

Da esta advertencia al principio de la parte I, no después. Es la fuente de confusión más fiable de todo el taller.

00 · Preparación y bienvenida

—

ejecuta esto antes que nada

⏱️5 min asignados

Inicio: +00:00 · Fin: +00:05

Tres descargas, una primera celda

HOUSING = "https://raw.githubusercontent.com/ageron/handson-ml2/master/datasets/housing/housing.csv"
TAXIS   = "https://raw.githubusercontent.com/mwaskom/seaborn-data/master/taxis.csv"
FLIGHTS = "https://raw.githubusercontent.com/mwaskom/seaborn-data/master/flights.csv"

housing = pd.read_csv(HOUSING)
taxis   = pd.read_csv(TAXIS)
flights = pd.read_csv(FLIGHTS)
print(housing.shape, taxis.shape, flights.shape)   # (20640, 10) (6433, 14) (144, 3)

La misma celda instala el backend de ffmpeg que necesita §05 y comprueba el servidor del vídeo, para que un decodificador ausente aparezca ahora y no dos horas más tarde.

Si esto falla, dilo en Discord ahora, no dentro de dos horas.

Confirma en los primeros 5 minutos que a todo el mundo le funcionó la descarga. Quien falle en silencio se quedará atascado en las secciones 07 y 10. Ten los tres CSV replicados en el repositorio como alternativa.

Al cuaderno

00 · Preparación y bienvenida

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El resto viene dentro de las librerías y funciona sin conexión: load_breast_cancer, load_digits, data.camera(), data.astronaut().

01 · Qué es un tensor

I

Parte I · demostración

⏱️20 min asignados

Inicio: +00:05 · Fin: +00:25

El vocabulario

Término	Significado	Inglés
Tensor	Array de números con cualquier número de ejes	tensor
Eje	Una dirección a lo largo de la cual se ordenan los datos	axis
Orden	Cuántos ejes tiene un tensor	order
Forma	El tamaño a lo largo de cada eje	shape
Corte	Fijar un índice y conservar el resto	slice
Fibra	Fijar todos los índices menos uno	fiber
Desplegado	Reorganizar un tensor como matriz	unfolding
Contracción	Multiplicar y sumar sobre un eje compartido	contraction

La forma es una tupla; el orden es su longitud

scalar = np.array(3.0)                     # orden 0   forma ()
vector = np.array([1., 2., 3.])            # orden 1   forma (3,)
matrix = np.array([[1., 2.], [3., 4.]])    # orden 2   forma (2, 2)
tensor = rng.standard_normal((2, 3, 4))    # orden 3   forma (2, 3, 4)

digits.images.shape              # (1797, 8, 8)  — imágenes, alto, ancho
photo.shape                      # (512, 512, 3) — alto, ancho, color

Los dos son de orden 3. Sus ejes significan cosas completamente distintas.

La forma por sí sola nunca te dice qué significan los ejes.

Tres operaciones

Corte — fija un índice. Fibra — fija todos menos uno.

photo[:, :, 0].shape       # (512, 512) — un corte: un canal de color
photo[100, 200, :].shape   # (3,)       — una fibra: los colores de un píxel

Tres operaciones

Desplegado — convertir cualquier tensor en una matriz.

def unfold(T, axis):
    return np.moveaxis(T, axis, 0).reshape(T.shape[axis], -1)

unfold(photo, 0).shape   # (512, 1536)
unfold(photo, 2).shape   # (3, 262144) — cada canal de color es una fila

El desplegado no pierde nada. Ahora sirve cualquier herramienta matricial que ya conoces.

Tres operaciones

Contracción — multiplicar sobre un eje compartido y sumar sobre él.

np.einsum('i,i->', a, b)          # producto punto     (ec. 2.8)
np.einsum('ik,kj->ij', A, B)      # producto matricial (ec. 2.5)

La regla, en una frase

Un índice que está en las entradas pero no después de la flecha se suma. Un índice que aparece después de la flecha se conserva.

El mapa de las factorizaciones

Método	Actúa sobre	Dónde hoy
LU	Matriz cuadrada	ahora
QR	Cualquier matriz	ahora
Descomposición espectral	Matriz cuadrada	§08
SVD	Cualquier matriz	§07, §10
Pseudoinversa	Cualquier matriz	§07
Cholesky	Matriz simétrica definida positiva	§11
Tucker / CP	Tensor de cualquier orden	§10

Todo salvo la última fila trabaja con dos ejes. Los datos reales tienen más.

Al cuaderno

01 · Qué es un tensor

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No corras con la parte I. Es el primer contacto con la teoría de tensores y todos los bloques posteriores usan su vocabulario. Si vas con retraso, recorta los apéndices, nunca la parte I.

02 · Pensar en N dimensiones

II

Parte II · discusión en grupo · sin código

⏱️20 min asignados

Inicio: +00:25 · Fin: +00:45

Vuestra tarea

Una imagen en escala de grises es una matriz. Casi nada en aprendizaje automático es una sola imagen en gris. Cada cosa que añades — color, muchos ejemplos, tiempo — añade un eje, y cada eje significa algo distinto.

Discutid qué eje va dónde, y por qué.

10 minutos en vuestro canal y luego puesta en común.

Las cinco preguntas

1. (H, W) → imagen en color → lote → vídeo → lote de vídeos. ¿Qué cuenta cada eje nuevo? No digáis «añadimos una dimensión».
2. Un eje de lote y un eje temporal son idénticos en el código. ¿Qué cambia en su significado? ¿Qué pasa si barajas cada uno?
3. Los vídeos reales tienen longitudes distintas. Dos formas de agruparlos en lote: ¿qué pierde o inventa cada una?
4. Células fotografiadas cada 10 min durante 48 h: ¿intervalo entre fotogramas → ? ¿campo de visión → ? ¿número de placas → ?
5. ¿Hay un límite al número de ejes de un tensor?

Puesta en común

gray_image      = np.zeros((28, 28))            # (H, W)
color_image     = np.zeros((28, 28, 3))         # (H, W, C)      + color
batch_of_images = np.zeros((32, 28, 28, 3))     # (N, H, W, C)   + muchos ejemplos
video           = np.zeros((16, 28, 28, 3))     # (T, H, W, C)   + tiempo ordenado
batch_of_videos = np.zeros((8, 16, 28, 28, 3))  # (N, T, H, W, C)

La pregunta 2 es la clave. Barajar el eje 0 es inofensivo en un lote y destruye un vídeo.

La notación del capítulo 2 no tiene ningún concepto de «el orden entre elementos importa». Eso sí es nuevo hoy.

Al cuaderno

02 · Pensar en N dimensiones

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Los bloques de grupo necesitan más mano firme que los de ejercicios. Si un grupo sigue en la pregunta 1 a falta de 5 minutos, entra en su canal y diles que dibujen cualquier cosa, aunque la forma esté mal. La puesta en común importa más que un dibujo correcto. Asigna los grupos antes de la sesión.

03 · Indexación y broadcasting

III

Parte III · ejercicio

⏱️15 min asignados

Inicio: +00:45 · Fin: +01:00

Por qué importa

569 pacientes reales, 30 medidas reales de núcleos de células tumorales.

• Elegir la columna equivocada no da ningún error
• Devuelve otra medida real
• Tu análisis continúa y da una respuesta segura y equivocada

En investigación: resultados que nadie puede reproducir. En una herramienta clínica: una recomendación errónea sobre una persona real.

El ejercicio

# TODO 2: Extrae "mean radius" con names.index(...). No escribas un número fijo.
# TODO 3: Los 5 pacientes con mayor "mean radius", perfil completo, UNA operación.
# TODO 4: Indexación booleana — maligno (y == 0) frente a benigno (y == 1).
# TODO 6: Estandariza con broadcasting: (D - mean) / std. MIRA EL RESULTADO.
# TODO 7: Aparecerán NaN. ¿Cuántos píxeles tienen std == 0, y por qué?

Dos resultados reales

print(radius[y == 0].mean(), radius[y == 1].mean())   # 17.5 frente a 12.1
print((std == 0).sum())                               # 3
Z = (D - mean) / np.where(std == 0, 1.0, std)

Los tumores malignos sí tienen un radio medio mayor: 17,5 frente a 12,1.

Tres píxeles están siempre oscuros en las 1797 imágenes de dígitos: esquinas donde nadie escribe. Desviación típica exactamente cero → NaN.

Con datos aleatorios nunca habrías visto esto.

Al cuaderno

03 · Indexación y broadcasting con datos reales

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04 · Reshape y transposición

III

Parte III · ejercicio

⏱️15 min asignados

Inicio: +01:00 · Fin: +01:15

Por qué importa

Los microscopios y las cámaras ordenan sus ejes según el hardware, no según lo que espera un modelo.

. . .

Equivocarse no provoca ningún fallo. El modelo se ejecuta sobre datos revueltos y devuelve resultados seguros y sin sentido.

. . .

La versión famosa: un modelo entrenado en TensorFlow (NHWC) desplegado en PyTorch (NCHW) sin transponer.

La misma forma, datos distintos

chw   = np.transpose(photo, (2, 0, 1))      # (3, 512, 512) — correcto
wrong = photo.reshape(3, 512, 512)          # (3, 512, 512) — se ejecuta, pero revuelve

np.array_equal(chw, wrong)                  # False

reshape solo reinterpreta los números en el orden en que están en memoria. transpose los mueve según el significado de cada eje.

Cuando dos ejes tienen el mismo tamaño

batch = np.stack([photo, photo, photo])      # (3, 512, 512, 3)
nchw  = np.transpose(batch, (0, 3, 1, 2))    # (3, 3, 512, 512)

Ahora dos ejes miden 3. ¿Cómo sabes cuál es cuál?

No lo sabes. Solo tu propio seguimiento puede decírtelo. Nada en el array lo registra.

Al cuaderno

04 · Reshape y transposición de imágenes reales

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🎯 Kahoot 1

Kahoot 1 — Vocabulario de tensores y formas

6 preguntas · unos 5 minutos

Entrad en kahoot.it

PIN en pantalla

Cubre: orden, eje, forma, corte, fibra, varianza, reshape, transposición

Detalles del cuestionario

Ejecútalo antes de la pausa, justo después de la sección 04. Todos acaban de usar orden, eje, forma, corte, fibra, varianza, reshape y transposición: es el momento en que esas palabras están más frescas.

IMPORTA EL .xlsx CON ANTELACIÓN. Create → Add question → Import → Import spreadsheet. No lo hagas en directo.

Calcula 5 minutos incluido el podio. Los grupos quieren ver la clasificación, y está bien: es la recompensa.

Dos preguntas vienen de los ejercicios: la de los NaN es la de los píxeles de varianza cero de la sección 03, y la última es reshape frente a transposición de la sección 04.

Si vas muy justo de tiempo, este es el último cuestionario que hay que recortar: recorta antes el Kahoot 2.

05 · Diseño de un pipeline de vídeo

III

Parte III · discusión en grupo

⏱️15 min asignados

Inicio: +01:25 · Fin: +01:40

Diseñad las dos tuberías

archivo → fotogramas decodificados → lote preprocesado → entrada del modelo → salida del modelo

Tecnología — una app de vídeos cortos que calcula un embedding por vídeo a partir de fotogramas muestreados.

Biotecnología — un modelo que etiqueta la fase actual de una operación quirúrgica.

No hay una única respuesta correcta.

Las cinco preguntas

1. Dibujad la forma en cada una de las cinco etapas, para los dos sistemas. ¿Dónde tienen que diferir?
2. 30 segundos frente a 4 horas. Dad la forma exacta del lote preprocesado. ¿Qué representa un valor inventado o desperdiciado?
3. Tres ángulos de cámara a la vez. ¿Dónde va ese eje?
4. 8 fotogramas muestreados de 900: ¿qué operación de la §03 es esa, y qué se pierde?
5. ¿Qué fotogramas importan más? ¿Qué mecanismo podría aprender ese peso?

Dónde divergen

# Tecnología: el tiempo SE DESTRUYE a propósito
# preprocesado (32, 8, 224, 224, 3)  ->  salida (32, 512)      N, embedding

# Biotecnología: el tiempo SOBREVIVE, una etiqueta por instante
# preprocesado (4, 64, 224, 224, 3)  ->  salida (4, 64, 12)    N, T, clases

La respuesta a la pregunta 5 es la atención — la §11 la construye con dos llamadas a einsum, y la máscara de relleno de la pregunta 2 resulta ser la misma máscara que necesita la atención.

Al cuaderno

05 · Diseño de un pipeline de vídeo

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06 · Contracción con einsum

IV

Parte IV · ejercicio

⏱️15 min asignados

Inicio: +01:40 · Fin: +01:55

Por qué importa

Los sistemas de recomendación y de búsqueda ordenan los resultados con el producto punto entre el vector de un usuario y todos los vectores de artículos: millones, muchas veces por segundo.

Esa contracción es la señal de ranking.

Suma sobre el eje equivocado y todos los usuarios reciben resultados erróneos.

Una letra para todo un lote

gray       = np.einsum('hwc,c->hw',   photo, w)      # (512, 512)
gray_batch = np.einsum('nhwc,c->nhw', batch, w)      # (2, 512, 512)

c está en las entradas pero no tras la flecha → se suma. n, h, w están tras la flecha → se conservan.

Añadir un eje de lote cuesta exactamente una letra.

El capítulo 2, reescrito

np.einsum('ii->', A)           # traza              == np.trace(A)   (ec. 2.48)
np.einsum('ij->ji', A)         # transpuesta        == A.T           (ec. 2.3)
np.einsum('ik,kj->ij', A, B)   # producto matricial == A @ B         (ec. 2.5)

La misma expresión sirve para una imagen o para un millón, y se lee como las matemáticas del capítulo 2.

Todos los pares de 1797 imágenes

D = load_digits().images.reshape(1797, -1)     # (1797, 64)
S = np.einsum('id,jd->ij', D, D)               # (1797, 1797) — 3,2 M de puntuaciones

Normaliza antes las filas y la misma contracción se convierte en la similitud del coseno.

\[\text{cos}(u, v) = \frac{u \cdot v}{\lVert u \rVert \, \lVert v \rVert} \qquad d(u,v) = \sqrt{\textstyle\sum_i (u_i - v_i)^2}\]

Di «distancia euclídea» y «similitud del coseno» en voz alta aquí. El Kahoot 2 pregunta por las dos y el manual no las define en ningún otro sitio: este ejercicio es el único puente.

Al cuaderno

06 · Contracción con einsum

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07 · Inversas y la pseudoinversa

IV

Parte IV · ejercicio

⏱️15 min asignados

Inicio: +02:00 · Fin: +02:15

Paso 1 — matrices cuadradas

Singular = np.array([[1., 2.], [2., 4.]])   # columna 2 = 2 x columna 1
np.linalg.inv(Singular)                      # LinAlgError

\(A^{-1}\) existe solo si las columnas son linealmente independientes.

Paso 2 — matrices no cuadradas

En aprendizaje automático A casi nunca es cuadrada: una fila por ejemplo, una columna por variable, y siempre muchísimos más ejemplos que variables.

La pseudoinversa de Moore-Penrose está definida para cualquier matriz:

\[A^{+} = V D^{+} U^{\top}\]

A_plus = np.linalg.pinv(A)
U, S_, Vt = np.linalg.svd(A, full_matrices=False)
np.allclose(A_plus, Vt.T @ np.diag(1 / S_) @ U.T)     # True — ec. 2.47

Qué te da \(A^{+}b\)

• Alta (demasiadas ecuaciones, sin solución exacta) → la x que hace Ax lo más cercano posible a b. Mínimos cuadrados.
• Ancha (pocas ecuaciones, infinitas soluciones) → la solución válida de norma más pequeña.

Paso 3 — ¿y los tensores? No hay una única inversa tensorial aceptada por todos. En la práctica: desplegar → pseudoinversa → volver a plegar. Funciona porque el desplegado no pierde nada.

20.433 ecuaciones, ninguna solución

d = housing.dropna()                                # 20433 filas; 207 tenían NaN
X = np.column_stack([np.ones(len(d)), d[feats].to_numpy(float)])   # (20433, 7)

w = np.linalg.pinv(X) @ y
w_lstsq, *_ = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)
np.allclose(w, w_lstsq)                             # True

rmse = np.sqrt(((X @ w - y) ** 2).mean())           # ~75.980

Ninguna recta pasa por 20.433 puntos. La pseudoinversa da la mejor respuesta posible. El coeficiente mayor es median_income: tiene todo el sentido.

El TODO 3 pide provocar un error a propósito. Avisa antes de que el error ES el resultado esperado, o varios pensarán que han roto algo.

Al cuaderno

07 · Inversas y la pseudoinversa

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🎯 Kahoot 2

Kahoot 2 — Einsum, distancia y la pseudoinversa

6 preguntas · unos 5 minutos

Entrad en kahoot.it

PIN en pantalla

Cubre: contracción, pseudoinversa, matrices singulares, distancia

Detalles del cuestionario

Ejecútalo justo después de la sección 07, antes de la demostración de recursión. Cubre la contracción (§06), la pseudoinversa y las matrices singulares (§07), y distancia/similitud: la matriz de similitud de dígitos del TODO 4 de la §06 es el puente entre ambas.

AVISO: dos preguntas son sobre distancia euclídea y similitud del coseno, que el manual no define directamente. Si no dijiste esas palabras durante la §06, espera que caigan en frío.

ESTE ES EL PRIMER CUESTIONARIO QUE HAY QUE RECORTAR si vas mal de tiempo: la pseudoinversa y la distancia se repasan de forma narrativa en el cierre.

08 · Recursión con matrices

IV

Parte IV · demostración

⏱️10 min asignados

Inicio: +02:20 · Fin: +02:30

Aplicar la misma matriz una y otra vez

F = np.array([[1, 1], [1, 0]])              # f(n) = f(n-1) + f(n-2)
v = np.array([1, 0])
for _ in range(10):
    v = F @ v
v[1]                                         # 55
np.linalg.matrix_power(F, 10)[0, 1]          # 55 — misma respuesta, en un paso

La iteración de potencias halla un autovector

x = rng.standard_normal(2); x /= np.linalg.norm(x)
for _ in range(50):
    x = A @ x
    x /= np.linalg.norm(x)

x @ A @ x                       # 5.000000
np.linalg.eig(A)[0].max()       # 5.000000 — idéntico

Aplicar una matriz repetidamente converge a su autovector dominante. Así ordena PageRank las páginas web.

Pronosticar tráfico aéreo real

y = flights['passengers'].to_numpy(float)     # 144 meses reales, 1949–1960
rows = np.array([y[i:i+12] for i in range(len(y) - 12)])
X = np.column_stack([np.ones(len(rows)), rows])
w = np.linalg.pinv(X) @ y[12:]                # mínimos cuadrados, igual que en §07

history = list(y[-12:])
for _ in range(12):                           # realimenta sus propias predicciones
    history.append(w[0] + np.dot(w[1:], history[-12:]))

[465.2 429.1 455.1 491.0 527.8 589.4 679.7 661.3 575.3 509.5 438.6 470.7]

Baja en invierno, máxima en verano, aprendido de 132 ventanas reales.

Eso es una red neuronal recurrente

h = np.zeros(4)
for t in range(6):
    h = np.tanh(W @ h + U @ xs[t])    # las mismas W y U en cada paso — la recursión

Un estado oculto, actualizado por los mismos pesos en cada paso.

Si vas muy mal de tiempo, este fragmento de RNN es el tercero en la lista de recortes, después del Kahoot 2 y del TODO 4 de la §09.

Al cuaderno

08 · Recursión con matrices y vectores

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09 · Convolución y deconvolución

IV

Parte IV · ejercicio

⏱️15 min asignados

Inicio: +02:30 · Fin: +02:45

Tres modos, tres tamaños de salida

np.convolve(x, k, 'full')    # longitud 5+3-1 = 7
np.convolve(x, k, 'valid')   # longitud 5-3+1 = 3
np.convolve(x, k, 'same')    # longitud 5

valid usa solo las posiciones donde el núcleo cabe entero: por eso la convolución encoge una imagen en kernel_size - 1.

Lo que todo el mundo confunde

Advertencia

La convolución verdadera invierte el núcleo. La correlación no. Lo que las librerías de deep learning llaman «convolución» es correlación.

np.correlate(x, k, 'valid')          # [-2. -2. -2.]
np.convolve(x, k[::-1], 'valid')     # [-2. -2. -2.] — igual, con k invertido

En la práctica da lo mismo — la red aprende el núcleo —, pero los nombres son incoherentes y conviene saberlo.

La convolución es un producto matricial

C = toeplitz(col, row)                          # (7, 5)
np.allclose(C @ x, np.convolve(x, k, 'full'))   # True

Una matriz de Toeplitz: los mismos pocos números reutilizados por toda la matriz.

Esa reutilización es exactamente por lo que las CNN necesitan muchísimos menos parámetros que una red totalmente conectada.

«Deconvolución» significa dos cosas

1. Convolución transpuesta — la capa de sobremuestreo de un decodificador o una GAN. Hace las cosas más grandes. No es una inversa verdadera; el nombre es histórico.
2. Deconvolución verdadera — recuperar el original a partir del borroso. Un problema inverso de verdad, y donde vuelve la §07.

Deconvolucionar una fotografía real

recovered = richardson_lucy(np.clip(noisy, 0, 1), psf, num_iter=50)

c = 25   # IGNORA EL BORDE — la deconvolución siempre crea artefactos en los bordes
err = lambda a: np.linalg.norm((a-img)[c:-c,c:-c]) / np.linalg.norm(img[c:-c,c:-c])
print(err(noisy), err(recovered))     # 0.1157 -> 0.0815

El error se reduce alrededor de un 30 %.

Importante

Avisa del recorte de 25 píxeles antes del ejercicio. Quien se lo salte concluirá que la deconvolución falló. No falló.

Es lo más difícil del taller. El TODO 4 es el segundo en la lista de recortes. Di lo del recorte del borde en voz alta antes de que empiecen, no después.

¿Por qué no invertir el desenfoque sin más?

K = np.fft.fft2(psf, s=img.shape)
naive = np.real(np.fft.ifft2(np.fft.fft2(noisy) / np.where(abs(K) < 1e-3, 1e-3, K)))
err(naive)     # ~2.49 — unas veinte veces PEOR que el desenfoque de partida

El desenfoque destruye el detalle de alta frecuencia, así que invertirlo divide por números casi nulos y amplifica el ruido enormemente.

La misma lección que en §07: si la inversa directa no existe o es inutilizable, buscas la mejor respuesta estable.

Al cuaderno

09 · Convolución y deconvolución

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10 · Descomposición de Tucker

IV

Parte IV · ejercicio

⏱️15 min asignados

Inicio: +02:50 · Fin: +03:05

Qué aporta cada factorización

Una factorización elige los átomos, la regla para combinarlos y la propiedad que compras a cambio. El objeto nunca cambia — solo cambia qué pregunta se vuelve trivial.

100

• \(2^2 \cdot 5^2\) → divisores, mcd
• \(4 \cdot 25\) → aritmética
• \(64 + 32 + 4\) → almacenamiento
• \(6^2 + 8^2\) → geometría

Producto o suma; la factorización en primos es única salvo el orden.

\(x^2 - 4x - 5\)

• estándar → intercepto, coeficientes
• \((x-5)(x+1)\) → raíces, signo
• \((x-2)^2 - 9\) → vértice, rango

Completar el cuadrado: el puente escalar a diagonalizar formas cuadráticas.

Matriz \(A\)

• LU → eliminación, sistemas repetidos
• QR → ortogonalidad, mínimos cuadrados
• Cholesky → sistemas SPD, covarianza
• SVD → estructura de bajo rango, condicionamiento
• NMF → partes no negativas

\(AB^{\top} = (AM)(BM^{-\top})^{\top}\) — los factores genéricos no son únicos sin estructura o convenciones adicionales.

Tensor \(\mathcal{X}\)

• CP → componentes interpretables de rango 1
• Tucker / HOSVD → compresión multilineal, subespacios
• Tensor Train → almacenamiento escalable de orden alto

Esencialmente único salvo permutación y escala compensatoria, bajo condiciones adecuadas — suficiente: \(k_A + k_B + k_C \ge 2R + 2\).

Tip

El producto matricial es en sí mismo un tensor; su rango CP es el número de multiplicaciones. El caso \(2 \times 2\) tiene rango 7, no 8 — eso es Strassen. En lo más alto de la escalera, la factorización es el algoritmo.

La factorización en primos es única salvo el orden — el caso más limpio de la diapositiva. Los factores genéricos de una matriz de bajo rango tienen libertad de gauge (el par \(M\)/\(M^{-\top}\)); una estructura adicional o una convención — pivotes positivos, columnas ortonormales, diagonal positiva — es lo que restaura la unicidad en LU, QR o Cholesky. CP puede ser esencialmente único bajo condiciones de identificabilidad adecuadas, salvo permutación y una escala compensatoria no nula entre modos; sobre los reales, los cambios de signo son un caso particular de esa escala. La condición de Kruskal \(k_A + k_B + k_C \ge 2R + 2\) es suficiente, no necesaria, y no dice nada sobre si la descomposición es fácil de encontrar. Vale la pena mencionar si hay tiempo: calcular el rango tensorial es NP-difícil en general, el rango tensorial puede superar cada dimensión individual de los ejes, y una mejor aproximación de rango \(R\) puede no existir siquiera — nada de eso es cierto para matrices.

PCA generalizado a todos los ejes

PCA comprime una matriz: dos ejes. Los datos reales suelen tener más.

Tucker: una matriz de factores por eje, más un pequeño tensor núcleo que describe cómo se combinan.

HOSVD usa solo herramientas que ya tienes:

1. Desplegar el tensor a lo largo de cada eje (§01)
2. SVD sobre cada desplegado; quedarse con las componentes principales
3. Contraer el tensor contra todos los factores para obtener el núcleo (§06)

Un tensor real de orden 3

barrio de origen × barrio de destino × hora del día, a partir de 6.433 viajes reales en taxi de Nueva York.

T = np.zeros((len(pb), len(db), 24))
for (p, d, h), v in sub.groupby(['pickup_borough','dropoff_borough','hour']).size().items():
    T[pb.index(p), db.index(d), h] = v

T[i, j, k] = viajes del barrio i al barrio j recogidos durante la hora k.

Tres ejes, un solo einsum

Us = [np.linalg.svd(unfold(T, ax), full_matrices=False)[0] for ax in range(3)]
Us = [Us[i][:, :r[i]] for i in range(3)]                     # r = (2, 2, 3)

core  = np.einsum('ijk,ia,jb,kc->abc', T, Us[0], Us[1], Us[2])   # (2, 2, 3)
recon = np.einsum('abc,ia,jb,kc->ijk', core, Us[0], Us[1], Us[2])

error = np.linalg.norm(T - recon) / np.linalg.norm(T)            # 0.067
ratio = T.size / (core.size + sum(u.size for u in Us))           # 4.71

'ijk,ia,jb,kc->abc' contrae tres ejes en una sola expresión. Por eso einsum vino primero.

Lo que encontró por sí solo

4,7× menos números, 6,7 % de error. Pero eso no es lo importante.

np.abs(Us[2][:, 0]).argmax()      # 18
T.sum(axis=(0, 1)).argmax()       # 18 — la misma hora, desde los datos crudos

La descomposición descubrió la hora punta de la tarde por sí sola.

Nadie le habló del tiempo, ni del tráfico, ni de los desplazamientos al trabajo. Encontró el patrón dominante de ese eje porque eso es lo que hace una descomposición.

Al cuaderno

10 · Descomposición de Tucker con datos reales

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Nunca recortes la sección 10. En tecnología, Tucker y CP comprimen los tensores de pesos de las redes neuronales para que los modelos corran en móviles. En biotecnología, sobre datos (genes × muestras × condiciones), encuentran estructura que PCA no alcanza: PCA solo puede ver dos ejes.

🎯 Kahoot 3

Kahoot 3 — Convolución y descomposiciones tensoriales

6 preguntas · unos 5 minutos

Entrad en kahoot.it

PIN en pantalla

Cubre: convolución, correlación, Tucker, CP, HOSVD

Detalles del cuestionario

Ejecútalo justo después de la sección 10, con el resultado de la hora punta del tensor de taxis todavía en pantalla.

SU ÚLTIMA PREGUNTA NOMBRA LA HORA 18: tiene que ir DESPUÉS del TODO 6 de la §10, nunca antes, o revela la respuesta.

NUNCA RECORTES ESTE. Es la forma más barata de comprobar si Tucker y CP han calado antes de que se vayan. Además hace de ensayo en directo del propio repaso del cierre, así que enlaza directamente del podio con el cierre.

11 · Cierre

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⏱️5 min asignados

Inicio: +03:10 · Fin: +03:15

Lo que hiciste hoy

• §01 — el vocabulario, y que el desplegado no pierde nada
• §02, §05 — un eje de lote y un eje temporal se comportan de forma distinta aunque las formas parezcan idénticas
• §03, §04 — datos reales de tumores e imágenes médicas reales, y problemas reales: píxeles de varianza cero, y reshape destruyendo una imagen en silencio
• §06–§10 — contracciones; un sistema irresoluble de 20.433 ecuaciones; recursión que pronostica tráfico aéreo real; una fotografía deconvolucionada; un tensor de taxis comprimido 4,7×, que encontró la hora punta por sí solo

Una idea conecta §07, §09 y §10

Cuando un problema no tiene respuesta exacta ni inversa verdadera, no te rindes: buscas la mejor aproximación estable.

• Pseudoinversa — para sistemas lineales
• Richardson-Lucy — para imágenes borrosas
• Tucker — para tensores demasiado grandes para guardarlos enteros

Enunciar esta conexión de forma explícita es lo que hace que la segunda mitad se sienta como una sola lección y no como cuatro bloques sueltos. No te lo saltes.

Dónde seguir

• torch.einsum / tf.einsum / jnp.einsum — sintaxis idéntica a la de hoy
• tensorly — Tucker y CP de verdad
• np.linalg — el resto del capítulo 2: eig, lstsq, pinv, qr, cholesky
• scipy.signal, skimage.restoration — convolución y deconvolución más allá de hoy
• Lecturas adicionales — libros y los artículos originales de Tucker, CP y SVD (en inglés)

Cinco ejercicios para casa en el cuaderno 11: la trampa de escala de PCA, la atención como dos contracciones, CP frente a Tucker, construir portafolios correlacionados con Cholesky, y eliminar el ruido de una grabación de voz real reduciendo el rango.

Gracias

Las preguntas son bienvenidas en Discord, en español o en inglés.

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